高数上册有一个不等式：
当x>0时，(x/(1+x))<1/ln(x+1)<x，
所以(1/ln(n+1))>(n/(1+n))，
而∑(n/(1+n))发散，所以∑(1/(ln(n+1)))发散
第二个也发散，用比较法的极限形式，
[(n/(2n+1))^n比(2n+1)/n)^n]=1而且极限趋于1，
而∑(2n+1)/n)^n因通项不趋于0发散，所以∑(n/(2n+1))^n发散
第三个收敛，方法与第四个相同。
级数1+5/2!+5^2/3!+5^3/4!...的通项是5^n/(n+1)!
用比值法，后项比前项为5^n/(n+1)!比5^(n-1)/n!
该比的极限为0，所以1+5/2!+5^2/3!+5^3/4!...收敛。
常见的收敛函数 扩展
有三角函数，对数函数，指数函数，一次函数，二次函数等。
函数收敛定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
常见的收敛函数 扩展
常用收敛级数如下：
1、∑<1，∞>1/n^p，p>1收敛。（p-级数）
2、∑<1，∞>aq^(n-1)-1<q<1收敛（等比级数）
3、∑<1，∞>1/[n(n+1)]收敛。（可拆项级数）
4、∑<1，∞>1/n！收敛。
5、∑<1，∞>(-1)^n/n^p，0<p≤1时条件收敛，p>1绝对收敛。（交错p-级数）
6、∑<1，∞>(-1)^n/n^p，0<p≤1时条件收敛，p>1绝对收敛。
